I/Q 不平衡校准的算法
问题
从采集到的信号：
\[ \begin{align*} I_0(t)= & A \alpha \cos \omega t, \\ Q_0(t)= & A \sin(\omega t+\psi) \end{align*} \]计算：
\[ \begin{align*} I(t)= & A \cos\omega t, \\ Q(t)= & A \sin \omega t. \end{align*} \]校准公式
由和角公式
\[\sin(\omega t + \psi)=\sin \omega t \cos\psi+\cos \omega t \sin\psi\]易得
\[\begin{pmatrix}I_0(t) \\ Q_0(t)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\alpha & 0 \\ \sin \psi & \cos \psi\end{pmatrix} \begin{pmatrix}I(t) \\ Q(t)\end{pmatrix} ; \]矩阵求逆得
\[\begin{pmatrix}I(t) \\ Q(t)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\alpha^{-1} & 0 \\ -\alpha^{-1}\tan \psi & \frac{1}{\cos \psi}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}I_0(t) \\ Q_0(t)\end{pmatrix}. \]记
\[ \begin{align*} a= & \alpha^{-1}, \\ d= & \frac{1}{cos \psi}, \\ c= & -ad\sin\psi \end{align*} \]则
\[\begin{pmatrix}I(t) \\ Q(t)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & 0 \\ c & d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}I_0(t) \\ Q_0(t)\end{pmatrix} . \]也就是
\[ \begin{align*} I(t)= & aI_0(t), \\ Q(t)= & cI_0(t) + dQ_0(t). \end{align*} \]时间平均的性质
记 \(x(t)\) 的时间平均为 \(\langle x(t) \rangle\). 注意常数的时间平均等于它本身，自变量中含有 \(t\) 的正弦和余弦函数的时间平均 \(\langle \sin(\omega t) \rangle=\langle \cos( \omega t) \rangle=0\). 以下推导需要用到上述结论。
\(\alpha\) 的求解
\[ \begin{align*} & \langle I_0(t) I_0(t)\rangle \\ = & \langle A^2\alpha^2\cos^2\omega t \rangle \\ = & A^2\alpha^2\langle \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2\omega t \rangle（倍角公式）\\ = & \frac{1}{2} A^2\alpha^2. \end{align*} \]类似可得
\[\langle Q_0(t) Q_0(t)\rangle=\frac{1}{2} A^2 .\]由以上两式可计算出
\[\alpha = \sqrt{\frac{\langle I_0(t) I_0(t)\rangle}{\langle Q_0(t) Q_0(t)\rangle}} .\]\(\psi\) 的求解
\[ \begin{align*} & \langle I_0(t) Q_0(t)\rangle \\ = & A^2\alpha\langle \cos\omega t \sin (\omega t + \psi)\rangle \\ = & A^2\alpha\langle \cos \omega t \cdot (\sin \omega t \cos\psi+\cos \omega t \sin\psi)\rangle \\ = & A^2\alpha\langle \sin \omega t \cos \omega t \cos\psi+\cos^2 \omega t \sin\psi\rangle \\ = & A^2\alpha\langle \frac{1}{2} \cos\psi \sin 2 \omega t+(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2\omega t) \sin\psi\rangle \\ = & A^2\alpha\langle \frac{1}{2} \cos\psi \sin 2 \omega t+\frac{1}{2}\sin\psi+\frac{1}{2}\sin\psi\cos 2\omega t\rangle \\ \end{align*} \]尖括弧内第一项、第三项包括自变量中含有 \(t\) 的正弦和余弦函数，因此其时间平均为零，上式
\[=\frac{1}{2} A^2\alpha\sin\psi .\]故
\[\sin\psi=\alpha \frac{\langle I_0(t) Q_0(t)\rangle}{\langle I_0(t) I_0(t)\rangle} = \alpha^{-1} \frac{\langle I_0(t) Q_0(t)\rangle}{\langle Q_0(t) Q_0(t)\rangle} ,\]\[\cos \psi = \sqrt{1-\sin^2 \psi}.\]离散时间信号的时间平均的计算
离散时间信号 \(x(n)\) 的时间平均从信号处理的角度看也就是其直流分量。因此这一时间平均
\[\langle x(n) \rangle\]可用直流消除滤波器
\[y(n)=x(n)-x(n-1)+Ry(n-1)\]计算：
\[\langle x(n) \rangle=x(n)-y(n).\]这一滤波器的时间常数为 \(1/(1-R)\) 个采样点。
实际校准中的注意事项
实际校准时，让接收机接收一个正弦信号，按上述方法，用正交解调出的信号 \(I_0(t)\) 和 \(Q_0(t)\) 计算校准使用的参数 \(a\)、\(c\) 和 \(d\).
在实际校准中，由于电路设计已经保证了 \(\psi\) 的值很小，\(\sin\psi\) 接近于 \(0\)， \(\langle I_0(t) Q_0(t)\rangle\) 的有效值往往淹没在噪声中。因此校准中可不用上述直接求解 \(\psi\) 的方法，改用对无用边带进行监测，直接调整 \(\sin\psi\)，使边带抑制比最佳的方法。