_{SEQÜÊNCIAS E SÉRIES DE NÚMEROS COMPLEXOS PARA AS FUNÇÕES TRANSCEDENTES ELEMENTARES:}

_{KAPLAN-pág.413}

                _{É particularmente interessante observar que as séries de potências}

_{(6-46),(6-47),(6-48) de}   , sen x e  cos x   _{ainda convergem quando se substitui x por um número complexo arbitrário z, pois, assim, podemos usar as equações}

_{,                                                          (6-57)}

_{,          (6-58)}

                               _(6-59)

_{para definir essas funções no caso complexo. A partir dessas séries, deduzimos a identidade de Euler:}          

                      _(6-60)

_{ou a relação mais geral}

        _{(6-61)
KAPLAN-pág..414 – Problemas 3 e 4.}

_{3-Provar que as séries (6-57), (6-58) e (6-59) convergem para todo z.}

_{,                                                          (6-57)}

_{,                    (6-58)}

                               _(6-59)

_Resolução:

_{Pelo critério da razão (KAPLAN-pág.357),}

_{Para a série (6-57), temos:}

_{converge absolutamente para qualquer x. Converge absolutamente}

_{Para a série (6-58), temos:}

_{converge absolutamente para qualquer x. Converge absolutamente}

_{Para a série (6-59), temos:}

_{converge absolutamente para qualquer x. Converge absolutamente}  

Próximo tópico: Prova da IDENTIDADE DE EULER

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Lista dos tópicos sequênciais (disponíveis até o momento):
Para entender a PROVA DA INDENTIDADE DE EULER, siga os tópicos da sequência da lista abaixo.

Princípios de formação de funções
Definição de funções periódicas
Definição de funções harmônicas
Cálculo diferencial para funções transcedentes elementares
Sequências infinitas
Série harmônica
Construção da função do número de Euler
Observações sobre aplicações das séries de Forier
Fórmula de Taylor com resto
Expansão do número de Euler, sen x, cos x.
Princípio rico em aplicações (formação das funções)
Sequências e séries de números complexos para as funções transcedentes elementares
Prova da Identidade de Euler