KAPLAN-pág.402

FÓRMULA DE TAYLOR COM RESTO.

A discussão acima (das séries de Taylor e de MacLaurin) concentrou-se mais nas séries de potências que nas funções que elas representam. A posição inversa é, também, de grande importância, e a primeira pergunta que se coloca é esta: dada uma função f(x), com a < x < b se , pode essa função ser representada por uma série de potências nesse intervalo? Quando f(x) é suscetível de tal representação, diz-se que f(x) é analítica no intervalo dado. De modo mais geral, f(x) é chamada analítica em a < x < b, se para cada  desse intervalo, f(x) pode ser representada por uma série de potências em algum intervalo . A maior parte das funções familiares (polinômios, funções racionais, , sen x, cos x, log x, , e as funções constituídas a partir delas por operações algébricas e substituições são analíticas em todo intervalo onde a função examinada é contínua. As exceções não são muito difíceis de reconhecer. Por exemplo,  é contínua para todo x, mas possui uma derivada descontínua em x=0. Então a função não pode ser analítica num intervalo contendo esse valor.

            É possível desenvolver facilmente uma teoria satisfatória de funções analíticas usando-se variáveis complexas.

            Contudo, o teorema que segue é bastante útil para estabelecer a analiticidade de uma função, sem apelo para números complexos.

Teoremo 41. (Fórmula de Taylor com resto). Seja f(x) uma função.....

.....terminar!!!!

Próximo tópico: Expansão do número de Euler, sen x, cos x.

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Lista dos tópicos sequênciais (disponíveis até o momento):
Para entender a PROVA DA INDENTIDADE DE EULER, siga os tópicos da sequência da lista abaixo.

Princípios de formação de funções
Definição de funções periódicas
Definição de funções harmônicas
Cálculo diferencial para funções transcedentes elementares
Sequências infinitas
Série harmônica
Construção da função do número de Euler
Observações sobre aplicações das séries de Forier
Fórmula de Taylor com resto
Expansão do número de Euler, sen x, cos x.
Princípio rico em aplicações (formação das funções)
Sequências e séries de números complexos para as funções transcedentes elementares
Prova da Identidade de Euler