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Onde stazionarie: miti e realtà

- versione del 19/4/2007 -  

1. SCOPO

Questa pagina web si prepone l'obiettivo di illustrare, con un certo dettaglio ma senza impiego di formule ostiche, cosa comporti la presenza di onde stazionarie sulla linea di trasmissione (ovvero sul cavo coassiale, sulla piattina od su altro mezzo di trasporto dell'energia RF), mettendo in luce degli aspetti che spesso non vengono approfonditi, quali le implicazioni delle impedenze non puramente resistive, che presentino cioè anche una certa reattanza.

Per una corretta comprensione degli argomenti qui discussi è chiaramente necessario avere qualche conoscenza di base sulle linee di trasmissione.

E’ importante tener presente che, in quanto sotto esposto, si fà sempre riferimento a componenti IDEALI, che si comportino cioè esattamente secondo i modelli matematici che li descrivono.

Inoltre, onde semplificare la discussione, si è costantemente fatta l'assunzione che la linea di trasmissione considerata sia anch'essa ideale, ovvero NON ABBIA PERDITE ed abbia quindi un'impedenza caratteristica puramente resistiva, pari in particolare a 50 Ohm (assunzione che ben si addice ai moderni cavi coassiali a bassa perdita). Peraltro nel par. 9 vengono presentate alcune considerazioni al riguardo delle linee non ideali (ovvero quelle che si ha in pratica a che fare), le quali invece attenuano il segnale in misura più o meno elevata in funzione del loro tipo e della frequenza di lavoro.

Per chi non ricordi bene come si relazionino impedenze, resistenze e reattanze, menziono quanto segue.

• un elemento la cui tensione risulti in fase con la corrente che lo attraversa si dice essere puramente resistivo. La sua impedenza (Z) è quindi solo costituita da una resistenza (R). In altre parole Z= R.

• quando invece la tensione non sia in fase con la corrente, la Z dell'elemento risulta generalmente costituta da due componenti ovvero dalla R di cui si è già parlato e dalla reattanza (X). L'espressione matematica diventa Z= R+jX, ove j è la costante immaginaria.

• ovviamente è anche possibile considerare elementi puramente reattivi (quindi un condensatore od un'induttanza), la cui Z sarà pertanto costituita dalla sola reattanza (Z= jX). In tal caso la tensione risulta sfasata esattamente di +90 o -90 gradi rispetto alla corrente.

 Nel seguito un'impedenza di valore Z= 50 + j30 ohm verrà indicata come [R= 50 X= 30].

2. EFFETTI PRATICI DEL ROS

Fino ai primi anni 60, quando ancora venivano usati fili, piattine e scalette come linee di trasmissione, pochi sapevano cosa fosse il Rapporto di Onda Stazionaria (ROS), ed ancor meno si preoccupavano di verificare che il ROS non superasse di troppo il valore ottimale (cioè 1). Con il successivo largo impiego dei cavi coassiali e con l'apparire sul mercato dei misuratori di ROS (o di ROS e potenza RF), l’interesse dei radioamatori per il ROS è andato rapidamente crescendo, finchè si è giunti alla situazione odierna nella quale si registra un’elevata attenzione, talvolta esagerata, per il fenomeno delle onde stazionarie. Purtroppo, sia perchè la tematica non è di facile comprensione da parte di chi non abbia una preparazione tecnica specifica, sia a causa di coloro che vanno inconsapevolmente scrivendo in giro cose inesatte, il ROS viene oggi comunemente percepito come un malanno al quale possano essere imputate molte delle spiacevoli situazioni che talvolta si manifestano nel corso dell’attività radiantistica (TVI e disturbi vari, distruzione dei transistors finali, ecc.). Per non parlare poi dei rimedi fantasiosi che vengono talvolta proposti per ridurre il ROS, quali tagliare la linea di discesa a multipli di mezza lunghezza d’onda, mettere anelli di ferrite sulla linea, ecc.

Ricordiamo, se ce ne fosse ancora bisogno, che la presenza di onde stazionarie sulla linea comporta SOLAMENTE tre effetti, e non altro:

1. Diminuzione della potenza trasmessa dall'apparato: quando il ROS sia >1 il trasmettitore, per il solo fatto di vedere un’impedenza di carico diversa da quella per cui è progettato (ovvero 50 Ohm puramente resistivi), non eroga la massima potenza RF che sarebbe altrimenti in grado di fornire (vedi par. 6, Figura 13). A ciò si aggiunge il fatto che, quando il ROS diventi significativo, entra in gioco il circuito di protezione del trasmettitore (Automatic Power Control - APC), che limita la potenza RF erogabile allo scopo di salvare i transistors finali da una possibile avaria (vedi ancora par. 6). Ove non sia possibile abbassare in qualche modo il ROS (interponendo ad esempio un accordatore tra antenna e linea di discesa, cosa peraltro non sempre agevole) la riduzione della potenza RF di uscita può essere comunque evitata inserendo un accordatore tra la discesa e l'apparato, il quale, se pur non riduce il ROS, permette almeno di far vedere al trasmettitore un carico adattato, ovvero con impedenza [R= 50 X= 0].

2. Diminuzione della potenza applicabile alla linea: quando il ROS sia >1, non sarà possibile applicare alla linea la potenza RF massima dichiarata dal costruttore. Infatti, mentre quando il ROS= 1 la tensione risulta costante lungo la linea (trascurando le perdite della stessa, come già detto), quando il ROS sia invece >1 si riscontra in certi tratti della linea una tensione RF superiore a quella che si avrebbe con ROS= 1 a parità di potenza RF applicata, e peraltro una tensione inferiore in altri tratti della linea (il tipico andamento sinusoidale del valore di picco della tensione RF lungo la linea è mostrato in Figura 17 nel caso di ROS= 3). Stessa situazione vale per la corrente. E' proprio la presenza di tratti di linea in cui si manifestano sovratensioni e sovracorrenti che impone di non applicare alla linea la massima potenza di targa, onde evitare che in quei tratti si superino i valori massimi ammissibili di tensione e di corrente.

3. Aumento dell'attenuazione della linea: quando il ROS sia >1, l'attenuazione della linea risulta essere più elevata di quella che si riscontra con ROS= 1. Attenzione però, perchè l'aumento percentuale dell'attenuazione dipende significativamente da quanto è alta l'attenuazione propria della linea. In altre parole, per un linea che presenti perdite intrinsecamente basse (alla frequenza di lavoro), l’aumento di attenuazione causato dal ROS sarà generalmente molto modesto. La dipendenza tra aumento dell'attenuazione e ROS è quantificata in Figura 20. Ai fini pratici, il problema dell'attenuazione addizionale causata dal ROS si presenta in maniera significativa solo nelle bande VHF ed UHF, ove le linee hanno generalmente delle attenuazioni intrinseche elevate. Per chi sia interessato a comprendere perchè il ROS>1 causi un aumento dell'attenuazione della linea (seppur spesso modesto) rilevo come l'aumento della potenza dissipata nei tratti di linea in cui la tensione (o la corrente) è più elevata di quella che si avrebbe con ROS= 1 (vedi punto precedente) non risulta compensato dalla diminuzione della potenza dissipata nei tratti di linea in cui la tensione (o la corrente) è più bassa di quella che si avrebbe con ROS= 1. Ciò in quanto le perdite crescono con legge quadratica rispetto a tensione ed corrente.

Quanto detto vale per le applicazioni a banda stretta, quali tipicamente sono quelle radioamatoriali. Per le applicazioni a banda larga, tipiche del campo professionale, entrano in gioco anche altre questioni (echi ed altro), che però qui ometto di citare.

3. RELAZIONE TRA L'IMPEDENZA DELL'ANTENNA ED IL ROS

Si premette come, quando quì si parli di "tensione" o di "corrente" in un certo punto della linea, ci si riferisca alla tensione od alla corrente effettivamente presenti in quel punto, le quali vengono identificate con i simboli V_e ed I_e. Si tratta chiaramente di grandezze vettoriali, nel senso che vengono ciascuna identificata da un ampiezza e da una fase.

Come spiegato nell'Appendice 1, sarebbe anche alternativamente possibile adottare un diverso modello della realtà secondo il quale la V_e viene vista, in ogni punto della linea, come somma vettoriale di due tensioni, le cosidette "tensione diretta" V_d e "tensione riflessa" V_r. Stessa cosa per le correnti I_d ed I_r. Ma nella discussione che segue faremo normalmente riferimento alle sole V_e ed I_e.

Fatto da tenere costantemente ben presente è il fatto che, per una linea senza perdite (assunzione che è alla base di tutta questa discussione), il ROS presente sulla linea dipende ESCLUSIVAMENTE dall’impedenza dell’antenna. QUALUNQUE altra cosa si faccia (al di là di accordare l'antenna stessa), come variare la lunghezza della linea, porre un’accordatore in stazione, ecc. non può in alcun caso comportare un cambiamento del ROS.

Ciò premesso consideriamo i tre casi possibili:

1. L’antenna presenta un'impedenza adattata al cavo, ovvero [R= 50 X= 0]

In queste condizioni si ha notoriamente ROS= 1. La tensione V_e e la corrente I_e risultano costanti in ogni punto della linea, le loro ampiezze sono legate dalla relazione V_e/I_e= 50 e la loro differenza di fase è ovunque nulla. L’impedenza vista dall'apparato risulta quindi indipendente dalla lunghezza del linea ed è sempre pari a [R= 50 X= 0].

2. L’antenna presenta un'impedenza non adattata ma puramente resistiva. ovvero essa è [R> 50 X= 0] oppure [R< 50 X= 0]

In questo caso il ROS, che risulta essere comunque >1, va così calcolato:

• Se R>50 Ohm il ROS è pari a R/50.

• Se R<50 Ohm il ROS è invece pari a 50/R.

A titolo di esempio si cita come la condizione ad es. ROS= 3 si possa ottenere sia con un'impedenza d'antenna [R= 150 X= 0] che per [R= 16,66 X= 0]. E' importante tenere a mente che, per il caso in esame (ovvero quello di antenne a reattanza nulla, X= 0), esistono sempre due valori di R che comportano lo stesso valore di ROS.

Vediamo ora come vari, in questo caso, l'impedenza lungo la linea.

A titolo di esempio riferiamoci al già citato caso di ROS= 3, con impedenza d'antenna pari a [R= 150 X= 0]. Le ampiezze di V_e ed I_e misurate sui i terminali dell'antenna sono quindi legati tra loro dalla relazione V_e/I_e= 150. Inoltre, avendo l'impedenza d'antenna componente reattiva nulla, in quel punto V_e ed I_e risultano essere in fase tra loro.

Non appena però ci si allontani dai terminali dell'antenna, muovendosi lungo la linea, si osserva come:

• cominci a sorgere una differenza di fase tra V_e ed I_e.

• il rapporto tra le ampiezze V_e/I_e cambi anch'esso di valore.

Pertanto l'impedenza vista dall'apparato presenterà ora (tranne che per particolari lunghezze di linea, come spiegato nel seguito):

• una componente reattiva X non nulla.

• una componente resistiva R variabile in funzione della lunghezza della linea.

La questione è discussa in maggior dettaglio nell'Appendice 1.

In Figura 1 viene visualizzata la variazione di impedenza lungo la linea per il caso in esame, ottenuta graficando le equazioni che governano il fenomeno.

Figura 1

Sull’asse x viene riportata la distanza elettrica dall'antenna lungo la linea (tenendo cioè anche conto del suo fattore di velocità) espressa in lunghezze d’onda (alla frequenza di lavoro). Sull’asse y sono invece riportati i valori delle componenti dell'impedenza, ovvero resistenza R e reattanza X, entrambi espressi in Ohm.

Chi voglia comprendere meglio perchè una linea si comporti in tal modo è invitato a leggere l' Appendice 2.

Nel punto all’origine degli assi (x= 0), corrispondente ai terminali dell'antenna, si ha ovviamente [R= 150 X= 0], in quanto questo è il valore di impedenza che l'antenna è stata quì assunta avere. Come previsto, l'impedenza varia man mano che ci si sposta dall'antenna, seguendo la curva blu (R) e quella rossa (X). Gli andamenti mostrati in Figura 1 confermano come l'impedenza vista dall'apparato vari fortemente con la lunghezza della linea. Tranne che a distanze particolari dall'antenna, la X risulterà essere non nulla, il che sta a significare come la V_e e la I_e sul connettore dell'apparato non risultino essere generalmente in fase tra loro.

Va peraltro osservato come, a distanze (elettriche) dall'antenna che siano multiple di mezza lunghezza d’onda (ovvero 0,5, 1, 1,5, ecc.), si ripresenti la stessa impedenza dell'antenna, ovvero [R= 150 X= 0]. La proprietà di "ripetere" l'impedenza è propria delle cosidette "linee a mezz'onda".

A distanze (elettriche) che corrispondano invece a multipli dispari di quarti di lunghezza d’onda (ovvero 0,25, 0,75, ecc.), si riscontra nuovamente una reattanza X= 0, ma la resistenza R assume ora l'altro valore che corrisponde a ROS= 3, ovvero 16,66 ohm. Si è quì in presenza della ben nota "trasformazione a quarto d’onda", che altro non fà che "scambiare" tra loro i due valori di R che corrispondono al vigente valore di ROS (cioè 150 ohm e 16,66 ohm, per ROS= 3). 

Per chi sia interessato alla formula della trasformazione in quarto d'onda riporto quanto segue (in Excel):

• R= (A1)^2/B1)

ove R è il valore di resistenza trasformato, A1 è l’impedenza caratteristica del linea (50 Ohm) e B1 è la resistenza dell’antenna (150 Ohm nel nostro esempio).

Un'osservazione finale nei riguardi di quanto sopra detto:

• la citata proprietà delle linee a mezz'onda ha validità assolutamente generale. Infatti a distanze multiple di mezz'onda qualunque impedenza (anche se non puramente resistiva) si ripete uguale a sè stessa. Tale proprietà viene spesso utilizzata per misurare correttamente l'impedenza a distanza.

• l'interesse pratico per le trasformazioni in quarto d’onda invece si manifesta generalmente solo quando si parta da un'impedenza puramente resistiva (cioè con X= 0). In tale ipotesi, tramite una linea a quarto d’onda (o suoi multipli dispari) che abbia impedenza appropriata è possibile trasformare un qualunque valore di resistenza in un qualunque altro valore di resistenza. A titolo di esempio si cita il caso in cui si intenda trasformare una resistenza da 40 ohm in una da 141 ohm. Si tratta di un caso fortunato in quanto si potrà allo scopo utilizzare del comune cavo da 75 ohm che abbia lunghezza pari ad un multiplo dispari di lunghezze d'onda. Per altre coppie di valori di resistenza sarà in generale necessario utilizzare linee che abbiano dei valori di impedenza caratteristica particolari, e quindi di non facile reperibilità o addirittura non commercialmente disponibili. 

Per gli interessati riporto in formato Excel le equazioni da cui è possibile risalire ai grafici mostrati in Figura 1

• R=  (B1^2*C1*(1+TAN(RADIANTI(360*A1))^2))/(B1^2+(C1^2*TAN(RADIANTI(360*A1))^2))

• X= (B1^3*TAN(RADIANTI(360*A1))-B1*C1^2*TAN(RADIANTI(360*A1)))/(B1^2+(C1^2*TAN(RADIANTI(360*A1))^2))

ove R è la resistenza, X è la reattanza, A1 è la distanza elettrica dall'antenna (in lunghezze d'onda), B1 è l'impedenza caratteristica della linea (in Ohm) e C1 è la resistenza dell'antenna (in Ohm) che è qui assunta essere puramente resistiva.

Sempre rimanendo nell'ambito del caso qui considerato, cioè quello in cui l'impedenza posta all'estremità della linea sia puramente resistiva (ovvero con reattanza X= 0), passiamo ora ad esaminare le condizioni estreme, ovvero quelle in cui la R abbia valore nullo o infinito, condizioni che entrambi comportano ovviamente un ROS infinito.

La condizione di resistenza R nulla (ovvero di impedenza [R= 0 X= 0]) si manifesta quando l'estremità della linea, invece di essere connessa all'antenna, venga chiusa in corto circuito tramite un conduttore di lunghezza brevissima e resistenza R praticamente nulla, la cui induttanza possa anch'essa ritenersi virtualmente nulla (e così quindi anche la reattanza X). In tal caso si può quindi assumere che l'impedenza posta all'estremità della linea sia appunto [R= 0 X= 0].

La variazione dell'impedenza lungo la linea per questo caso è mostrata in Figura 2.

 Figura 2

Al variare della distanza dall'estremità della linea chiusa in corto, la resistenza R rimane costantemente nulla, mentre la reattanza X è soggetta a forti cambiamenti, assumendo valori negativi e positivi che variano da 0 a + infinito o - infinito:

• a piccole distanze dall'estremità la linea si presenta come un induttanza (X positiva) il cui valore cresce con la distanza dall'estremità stessa.

• giunti a distanze prossime a 0,25 lunghezze d'onda la reattanza X (e quindi l'induttanza) assume valori elevatissimi, fino a diventare praticamente infinita.

• allontanandosi ulteriormente, il valore della reattanza X cambia bruscamente di segno diventando quindi negativa. Pertanto la linea si presenta ora come un condensatore avente reattanza X decrescente (e capacità quindi crescente) all'aumentare della distanza dall'estremità. 

• alla distanza di 0,5 lunghezze d'onda si ripresenta la situazione di cortocircuito. Ciò è in linea con la già citata proprietà che a distanze multiple di mezza lunghezza d'onda l'impedenza si ripete uguale a se stessa.

In conclusione un tratto di linea posto in corto circuito può essere utilizzato come condensatore o come induttanza, il cui valore potrà essere regolato variando opportunamente la  lunghezza del tratto stesso. Attenzione però perchè il valore di capacità (o di induttanza) corrispondente ad un tratto di linea di determinata lunghezza varia con la frequenza di lavoro. In altre parole i condensatori (o le induttanze) realizzati tramite con linee sono frequency-dependent, al contrario dei dispositivi fisici che non lo sono.

Passando ora a considerare la condizione di R infinita (ovvero di impedenza [R= infinito X= 0]), detta condizione si manifesta quando l'estremità della linea, invece di essere connessa all'antenna, venga troncata di netto e lasciata aperta. La variazione dell'impedenza lungo la linea per questa situazione è mostrata nei grafici di Figura 3, che risultano identici a quella di Figura 2 se non per la traslazione orizzontale di un quarto di lunghezza d'onda. Va peraltro osservato come, quando R sia infinita, il valore di X diventa irrilevante, per cui la Figura 3 vale non solo per X= 0 ma per qualsiasi valore di X, compreso X= infinito.

Figura 3

Al variare della distanza dall'estremità, la resistenza R rimane costantemente nulla, mentre la reattanza X è soggetta a forti cambiamenti, assumendo valori negativi e positivi che variano da 0 a + infinito o - infinito:

• a brevi distanze dall'estremità la linea si presenta come una piccola capacità (la X è grande e negativa) il cui valore cresce con la distanza dall'estremità stessa.

• giunti a distanze prossime a 0,25 lunghezze d'onda, la reattanza X diventa estremamente bassa, e la capacità quindi tende a diventare infinita.

• allontanandosi ulteriormente, il valore della reattanza X cambia di segno diventando quindi positiva. Pertanto la linea si presenta ora come una piccola induttanza che cresce all'aumentare della distanza dall'estremità (la X è crescente).  

• alla distanza di 0,5 lunghezze d'onda si ripresenta la situazione di circuito aperto. Ciò è in linea con il già citato fatto che a distanze multiple di mezza lunghezza d'onda l'impedenza si ripete uguale a se stessa.

3. L’antenna presenta un'impedenza qualsiasi (ovvero con componente reattiva X non nulla)

Si tratta ovviamente del caso più generale. Vediamo innanzitutto quale effetto produca la presenza di una reattanza X in serie alla resistenza R (è irrilevante se si tratti della X positiva di un'induttanza o della X negativa di un condensatore).

Incominciamo con il ROS.

In Figura 4 si fà riferimento ad un'antenna che abbia una componente resistiva R= 100 Ohm, ed una componente reattiva X variabile.

 Figura 4

Quando X= 0 si ricade nel caso prima esaminato, per cui il ROS è semplicemente pari a 100/50= 2. Man mano che X aumenta anche il ROS aumenta, secondo la legge (in formato Excel):

• ROS= -(RADQ(B1^2+(A1-C1)^2)+RADQ(B1^2+(A1+C1)^2))/(RADQ(B1^2+(A1-C1)^2)-RADQ(B1^2+(A1+C1)^2))

ove A1 è la resistenza dell'antenna (in Ohm), B1 è la reattanza dell'antenna (in Ohm) e C1 è l'impedenza caratteristica della linea (in Ohm).

Per comodità riporto anche le relazioni inverse (con i valori sempre espressi in Ohm):

- noti  ROS (A1), R (B1) e impedenza caratteristica (C1):

• X= RADQ((-A1*B1^2+C1*B1*(1+A1^2)-A1*C1^2)/A1)

- noti ROS (A1), X (B1) e impedenza caratteristica (C1):

• R= (C1+C1*A1^2+RADQ(C1^2+C1^2*A1^4-2*A1^2*(2*B1^2+C1^2)))/(2*A1)

L'aumento del ROS con l'aumentare di X spiega il perchè si cerchi sempre di lavorare con antenne “risonanti”, cioè con antenne la cui impedenza abbia, alla frequenza di lavoro, componente reattiva X= 0  (in realtà, per i motivi spiegati al par. 8, il valore più basso di ROS talvolta non si ottiene alla frequenza a cui l'antenna risuona).

Passando ora ad esaminare l'andamento dell'impedenza lungo la linea quando l'antenna presenti un impedenza con X non nulla, consideriamo un'antenna che abbia ad esempio impedenza pari a [R= 30 X= 40], impedenza che, come è facile calcolare utilizzando le equazioni sopra riportate, provoca sulla linea lo stesso valore di ROS (= 3) che l'antenna comporterebbe se la sua impedenza avesse invece reattanza X= 0 e R= 150 Ohm (cioè l'impedenza relativa al grafico di Figura 1).

Sorge naturale la domanda se esista una qualche diversità tra gli andamenti dell'impedenza lungo la linea quando questa sia terminata su [R= 30 X= 40] oppure su [R= 150 X= 0], nonostante il ROS sia lo stesso nei due casi.

Per rispondere alla domanda, sono stati tracciati in Figura 5 i grafici che mostrano l'andamento dell'impedenza in funzione della distanza dall'antenna, per impedenza pari a [R= 30 X= 40].

Figura 5

E' evidente come i grafici di Figura 5 siano identici a quelli di Figura 1, tranne per il fatto che quelli di Figura 5 sono spostati a destra di 0,125 lunghezze d'onda rispetto a quelli di Figura 1. L'entità dello spostamento dipende chiaramente dalla particolare impedenza considerata; pertanto il valore di 0.125 determinato per il caso in considerazione va considerato come numero casuale.

Da quanto detto si può facilmente concludere come l'impedenza vista dall'apparato sia la stessa:

• quando l'antenna abbia impedenza [R= 150 X= 0] e la linea sia lunga L

• e quando l'antenna abbia invece impedenza [R= 30 X= 40], e la linea abbia lunghezza pari ad L + 0,125 lunghezze d'onda.

D'altra parte osservando la Figura 5 è immediato rilevare come alla distanza di 0,125 lunghezze d'onda si registri l'impedenza [R= 150 X= 0], ovvero proprio quella con riferimento alla quale sono stati derivati i grafici di Figura 1.

Si può quindi concludere come, ai fini pratici, abbia poca rilevanza se un prefissato valore di ROS sia conseguente ad un'impedenza d'antenna puramente resistiva (cioè con X= 0), oppure ad un'impedenza che abbia una componente reattiva X non nulla.

A questo punto vorrei sfatare il mito letto da qualche parte che, in presenza di ROS, variare la lunghezza della linea è equivalente ad interporre un'accordatore tra il trasmettitore e la linea stessa. Infatti:

• variando la lunghezza della linea varia anche l'impedenza vista dal trasmettitore, ma le coppie ottenibili di R ed X saranno solo quelle che corrispondono al ROS vigente sulla linea (che non varia con la lunghezza della linea stessa) secondo le equazioni prima riportate.

• interponendo un'accordatore tra trasmettitore e linea si può, in teoria, invece ottenere qualunque coppia R ed X, anche per esempio la coppia [R= 50 X= 0] che corrisponde a ROS= 1. Nell'esempio citato l'accordatore viene ad ingannare il trasmettitore, facendogli credere di essere connesso ad una linea terminata su antenna adattata, mentre così non è perchè il ROS sulla linea permane comunque quello che era.

In chiusura passiamo ad esaminare le varie situazioni che si vengono a creare quando all'estremità della linea venga posta un impedenza puramente reattiva (cioè con R= 0). E' importante osservare come, quando R= 0, il ROS sia comunque infinito, indipendentemente dal valore di X.

Al momento di considerare le due situazioni estreme che possono manifestarsi quando R= 0, ovvero X= 0 ed X infinito, ci accorgiamo che in realtà dette situazioni sono state gia discusse nell'ambito del caso precedente. Infatti

• la situazione con impedenza [R= 0 X= 0]) è stata già caratterizzata in Figura 2.

• la situazione con impedenza [R= 0 X= infinito] risulta già caratterizzata in Figura 3, in quanto i grafici relativi a [R= qualsiasi X= infinito] sono gli stessi relativi a [R= infinito X= qualsiasi]. Infatti, poiche R ed X si trovano in serie, la condizione di linea aperta si manifesta sia quando R è infinita che quando X è infinita.

Rimane da considerare la situazione intermedia, cioè quella in cui si abbia R= 0 e X di valore qualsiasi. A titolo di esempio si è graficato in Figura 6 l'andamento dell'impedenza lungo la linea quando alla sua estremità venga posta l'impedenza [R= 0 X= -139], ovvero la linea sia chiusa su un condensatore che, alla frequenza di lavoro, abbia reattanza pari a 139 ohm.

Figura 6

E' immediato osservare come la Figura 6 sia identica, a parte una traslazione orizzontale, alle Figure 2 e 3.

Si può pertanto concludere in generale che quando all'estremità di una linea venga posta un'impedenza puramente reattiva (condensatore o induttanza) l'andamento dell'impedenza lungo la linea è lo stesso che si registra quando detta estremità venga invece chiusa in corto circuito o lasciata aperta. Valgono quindi le stesse considerazioni fatte per quei casi.

4. MISURA DEL ROS E DELLA POTENZA RF

Scopo di questo paragrafo è quello di comprendere i meccanismi alla base della misura del ROS e della potenza RF, anche nell'ottica di verificare se queste misure risultino influenzate dalla lunghezza della linea di trasmissione e/o da una componente reattiva X eventualmente presente nell'impedenza vista dal misuratore.

Cominciamo dalla misura del ROS.

Misurare il ROS senza ricorrere a soluzioni esotiche (ad es. linee fessurate) non è cosa concettualmente banale. Si tratta infatti di misurare un parametro, il ROS, che risulta confinato all'interno della linea di trasmissione e che non è pertanto direttamente misurabile se non stando ipoteticamente dentro la linea stessa. In altre parole un qualsiasi dispositivo che venga semplicemente connesso ad un estremo della linea (e si trovi quindi all'esterno della linea stessa) non può essere concettualmente in grado di effettuare una misura diretta del valore di ROS.

Quello che è possibile fare esternamente è di misurare i valori di V_e ed I_e all'estremo della linea, e quindi risalire da questi al valore di ROS che vige all'interno della linea stessa. Si tratta quindi di una misura indiretta, un po' come avviene per la temperatura: non essendo possibile misurare direttamente la temperatura di un oggetto, viene in pratica misurata una manifestazione della stessa. Per esempio, nel caso del termometro a mercurio, si misura la variazione della lunghezza della colonnina, e da questa si risale poi al valore di temperatura.

Che il compito del misuratore si ROS non sia semplice lo si comprende facilmente: mentre il risultato della misura di ROS non deve chiaramente cambiare se si varia la lunghezza del linea (il ROS è infatti indipendente da questa), le grandezze misurate, ovvero V_e ed I_e, variano invece fortemente (sia in ampiezza che in fase)  in funzione della lunghezza della linea stessa, seguendo la variazione di impedenza (tipo quella mostrata nell'esempio di Figura 1).

Più in particolare, un misuratore di ROS è concettualmente in grado di effettuare tre misure, ovvero l'ampiezza della V_e, l'ampiezza della I_e e la fase relativa tra V_e ed I_e. Un metodo per risalire al ROS, partendo da una terna di tali misure, sarebbe quello di utilizzare un processore che modellizzi le equazioni che legano le tre misure al valore di ROS vigente sulla linea. I comuni misuratori di ROS invece adottano generalmente dei circuiti molto più semplici, così semplici che potrebbero far sorgere il ragionevole dubbio se questi siano effettivamente in grado di misurare correttamente il ROS in ogni condizione, ovvero senza farsi influenzare dalla variazione che la terna di parametri misurati subisce lungo la linea (in dipendenza della variazione dell'impedenza al punto di misura).

In tema di possibili errori nella misura del ROS possono distinguersi tre categorie di errori che vanno ad assommarsi gli uni agli altri, ovvero:

• gli errori legati al principio stesso su cui è basata la misura del ROS. Questi errori, se esistenti, non sono in alcun modo eliminabili e sono quindi espressione di una inadeguatezza intrinseca del principio di misura adottato.

• gli errori dovuti al fatto che il circuito di misura, per come viene realizzato in pratica (lunghezza dei fili, capacità parassite, ecc.), non si comporta come dovrebbe.

• gli errori legati alla non idealità dei componenti utilizzati (soglia dei diodi, resistenza dell'avvolgimento dei trasformatori, ecc.).

Nel seguito non verranno considerate la seconda e la terza categoria di errori  in quanto questi, essendo fortemente dipendenti dalla particolare modalità realizzative del circuito del misuratore, dall'assemblaggio e dalla tipologia dei componenti utilizzati, mal si prestano ad una discussione che si prepone invece di avere validità generale.

Vi sono numerosi modi di realizzare un misuratore di ROS, ma la stragrande maggioranza di questi si basa sul principio di combinare in modo opportuno la misura della V presente sul misuratore stesso con quella della I che lo attraversa, adottando soluzioni che, rendendo dette misure indipendenti dalla frequenza (entro certi limiti), permettono quindi di realizzare dei misuratori che mantengono una buona precisione su di una banda piuttosto larga.

Sebbene esistano diversi circuiti basati sul principio generico sopra menzionato, il loro funzionamento è pressochè identico. Pertanto la discussione non perde di generalità ove si faccia riferimento ad un circuito particolare, quale quello di Figura 7 nella quale è mostrato lo schema (semplificato) di un misuratore che si avvale di due strumenti distinti, i quali, per motivi chiariti nel seguito, vengono rispettivamente denominati "diretta" e "riflessa". Le considerazioni qui esposte comunque non cambierebbero qualora si considerasse invece un misuratore a singolo strumento commutato.

Figura 7

Il principio su cui si basa la misura del ROS (e meglio spiegato successivamente) è il seguente:

1. misurare (in maniera relativa) la tensione V_e (tramite il partitore C_x C_y, il quale restituisce una frazione della V_e quì denominata V_v) e la corrente I_e (tramite il trasformatore, che fornisce una tensione V_c proporzionale alla corrente I_e) presenti nel punto della linea ove il misuratore è inserito.

2. derivare, da dette misure di V_e ed I_e, delle tensioni proporzionali alle ampiezze delle cosidette "tensione diretta" V_d e "tensione riflessa" V_r presenti sulla linea le quali, una volta rettificate dai diodi,  provocano lo scorrimento delle correnti continue I_a ed I_b nei due strumenti (cosa siano V_d e V_r viene spiegato nell'Appendice 1).

3. adottare una procedura di misura, basata sulla simultanea regolazione di R_a e di R_b, tramite la quale lo strumento della riflessa venga a fornire un'indicazione proporzionale al rapporto di ampiezza V_r/V_d.

4. infine mostrare direttamente il risultato della misura su di una scala tarata in ROS.

Esaminiamo ora meglio i quattro passi concettuali sopra elencati, facendo riferimento ad un misuratore di ROS che venga calibrato (in fabbrica) su una resistenza di riferimento pari a 50 ohm (visto che la stragrande maggioranza delle linee utilizzate per applicazioni di radiocomunicazioni ha proprio quel valore di impedenza caratteristica).

Passo 1: V_e ed I_e.

Con riferimento Figura 7, si rileva come:

• il trasformatore T (generalmente di tipo toroidale) fornisca, tra presa centrale ed un estremo, una tensione V_c proporzionale alla corrente effettiva I_e che attraversa il misuratore (quindi V_c= m*I_e, ove m è una costante di proporzionalità). Come pure fornisca, tra la presa centrale e l'altro estremo, la stessa tensione V_c ma sfasata di 180 gradi (ovvero -V_c= -m*I_e).

• il partitore capacitivo formato da C_x e C_y fornisca una tensione V_v proporzionale alla tensione effettiva V_e presente sul misuratore (V_v= k*V_e, ove k è una costante di proporzionalità che varia regolando C_x).

Passo 2: V_d ed V_r.

Ricordiamo innanzitutto alcune relazioni (vettoriali) che valgono per una linea con impedenza caratteristica di 50 Ohm (vedi Appendice 1):

• V_e=  V_d+V_r

• I_e=  I_d+I_r= V_d/50-V_r/50

Dalla Figura 7 è facile constatare come, qualunque sia la fase relativa tra V_e ed I_e, e tarando C_x in maniera tale che m= k*50:

• il diodo D_a risulti alimentato dalla serie di V_v e V_c, ovvero da k*V_e+m*I_e= 2*k*V_d

• il diodo D_b risulti alimentato dalla serie di V_v e -V_c, ovvero da k*V_e-m*I_e= 2*k*V_r

Il circuito raggiunge quindi lo scopo di alimentare i diodi con  tensioni che siano in ogni caso proporzionali alle ampiezze di V_d ed a V_r.

Quando il misuratore venga chiuso su un carico puramente resistivo, ovvero [R= 50 X= 0], si ha chiaramente V_e= I_e*50. In tal caso, utilizzando le formule sopra riportate, è facile dimostrare come V_r=0.

Passo 3: rapporto V_r/V_d.

La deflessione dello strumento della diretta (la quale è legata alla corrente continua I_a che lo attraversa) dipende dalla tensione continua che si genera a valle di D_a, la quale dipende a sua volta dall'ampiezza di V_d (vedi Passo 2),  dalla resistenza R_a e da quella propria dello strumento. Stesso discorso per lo strumento della riflessa (riferendoci ora a D_b, V_r ed R_b).

Come anticipato, il misuratore è progettato in modo che le resistenze R_a e R_b siano variabili contemporaneamente, cioè mantengano lo stesso valore durante la variazione.

La procedura di misura è la seguente:

• si applica una certa potenza RF.

• si regola R_a (e quindi anche R_b) in modo che la corrente I_a sia tale da far andare a fondo scala lo strumento della diretta.

• in virtù del fatto che R_b varia insieme ad R_a, lo strumento della riflessa indicherà automaticamente il rapporto di ampiezza V_r/V_d.

Quando il misuratore venga chiuso su un carico puramente resistivo, ovvero [R= 50 X= 0], dato che V_r=0 anche V_r/V_d= 0, e quindi lo strumento della riflessa non darà alcuna indicazione.

Passo 4: ROS

La scala dello strumento va tarata secondo la formula scalare ROS= (1+V_r/V_d)/(1-V_r/V_d).

La formula, graficata in Figura 8, conferma come quando il misuratore venga chiuso su un carico puramente resistivo, ovvero [R= 50 X= 0], dato che V_r=0 si otterrà l'indicazione ROS= 1.

Figura 8

In pratica, la scala del misuratore sarà un pò diversa da quella mostrata in Figura 8, dovendosi tener conto del fenomeno della soglia dei diodi. Tale fenomeno fà sì che, ad esempio, il valore ROS= 3 corrisponda ad una percentuale del fondo scala minore del 50%, come risulterebbe dalla formula.

A questo proposito si fa osservare come la presenza della citata soglia abbia diversa influenza sulla scala a seconda del valore assoluto dell'ampiezza di V_v e V_c, e quindi a seconda della potenza alla quale viene effettuata la misura. Pertanto la scala viene usualmente tracciata per un livello di potenza medio. Quando si effettui la misura ad un livello di potenza molto più basso o molto più alto, la precisione di misura ovviamente ne soffre.

E' possibile dimostrare come la misura del valore di ROS vigente sulla linea non vari secondo il particolare punto in cui si effettua la misura, o, in altre parole, in funzione dell'impedenza presente nel punto di misura.

Ed ora passiamo alla misura di potenza.

Il circuito di Figura 7 può anche essere utilizzato come wattmetro RF, ovvero come misuratore della potenza RF effettivamente presente sulla linea P_e. Si ricorda come P_e= V_e*I_e*cos(a), ove a è lo sfasamento relativo tra I_e e V_e.

Peraltro, una volta che venga adottata la modellizzazione basata su onda diretta e onda riflessa, risulta anche (come spiegato in Appendice 1):

• P_d= V_d*I_d= (V_d^2)/50.

• P_r= V_r*I_r = -(V_r^2)/50

Si noti come la P_r abbia sempre valore negativo, e per questo motivo la potenza riflessa mostrata dal misuratore viene nel seguito indicata come |P_r| (cioè valore assoluto di P_r). 

Come spiegato nell'Appendice 1, vale in ogni punto della linea la relazione P_e= P_d+P_r.

Al Passo 2 (vedi caso in cui il circuito di Figura 7 venga utilizzato come misuratore di ROS) si è visto come i diodi D_a e D_b vengano rispettivamente alimentati da tensioni proporzionali alle ampiezze di V_d e di V_r, e quindi anche proporzionali a RADQ(P_d) ed a RADQ(|P_r|). Pertanto anche le correnti I_a ed I_b che attraversano lo strumento della diretta e quello della riflessa saranno anch'esse proporzionali a RADQ(P_d) ed a RADQ(|P_r|), mentre il loro valore assoluto dipenderà da come vengono regolate R_a ed R_b.

In definitiva:

• regolando opportunamente e una volta per tutte R_a ed R_b, avendo cura di mantenerle sempre uguali tra loro (fatta salva la necessità di compensare le inevitabili imperfezioni dei componenti del circuito)

• ed adottando, su entrambi gli strumenti, la scala quadratica mostrata in Figura 9 (graficata per un ipotetico fondo scala di 100W), la quale viene a compensare il fattore RADQ

gli strumenti indicheranno direttamente i valori di P_d e di |P_r|.

Figura 9

In definitiva la misura di P_e si effettua sottraendo alla misura di P_d (letta sullo strumento della diretta) la misura di |P_r| (letta sullo strumento della riflessa). Chiaramente se lo strumento è chiuso su [R= 50 X= 0], si ha |P_r| = 0 e quindi P_e= P_d.

Va ora anche osservato come, tramite le misure di P_d e di |P_r|, sia peraltro possibile effettuare una misura "indiretta" del ROS, utilizzando la formula (espressa in formato Excel):

• ROS= (1+RADQ(A1/B1))/(1-RADQ(A1/B1))

ove A1 è pari alla |P_r| e B1 è pari alla P_d.

Oppure anche impiegando degli abachi, quali quello mostrato in Figura 10 (la "forward power" è la P_d, mentre la "reflected power" è la |P_r|),

Figura 10

A tal proposito, si rileva come sia prassi tarare i misuratori di potenza RF in maniera tale da ottenere valori di fondo scala diversi per la |P_r| e la P_d, tipicamente in rapporto 1 a 10 o 1 a 5. Ciò per poter poi meglio apprezzare i piccoli valori di |P_r| che si manifestano negli impianti in cui è presente un basso valore di ROS;

Come peraltro già detto per il caso in cui il circuito di Figura 7 sia utilizzato come misuratore "diretto" di ROS, la scala da utilizzare in pratica risulterà essere un pò diversa da quella della Figura 9, al fine di tener conto del fenomeno della soglia dei diodi. La discrepanza sarà maggiore o minore in funzione del valore di potenza di fondo scala prescelto, per cui la scala dello strumento della P_d risulterà tipicamente un po' diversa da quella dello strumento della |P_r|. Questo spiega perchè nei misuratori a singolo strumento (commutabile tra P_d e |P_r|) vengano tracciate scale separate. Fanno eccezione i wattmetri tipo Bird, i quali sono stati progettati in modo che il campo di tensione presente sui diodi risulti essere sempre lo stesso, indipendentemente dalla portata selezionata per il misuratore. Ciò è solo possibile variando il livello di accoppiamento con la linea in funzione della portata (in pratica cambiando il "tappo").

Interessante rilevare come la misura "indiretta" del ROS (effettuata cioè utilizzando un misuratore di potenza RF) sia concettualmente più precisa che se effettuata utilizzando lo stesso circuito quale misuratore "diretto" di ROS (anche se in pratica le differenze possano esser minime). Ciò in quanto, come già osservato, la misura "diretta" del ROS viene influenzata dal livello di potenza a cui si effettua la misura, mentre quella "indiretta" non soffre di questo problema, in quanto le scale degli strumenti P_d e |P_r| vengono ciascuna appositamente tracciate con riferimento al proprio livello di potenza di fondo scala. In pratica, i misuratori commerciali che adottino il circuito di Figura 7 (o uno equivalente) vengono oggi tutti proposti come misuratori di potenza RF, mentre solo alcuni di essi sono anche utilizzabili come misuratori "diretti" di ROS.

Altra circuito di misura del ROS.

Per concludere, si cita anche un altro schema di misuratore di ROS che invece differisce concettualmente da quello di Figura 7. Si tratta del ben noto "monimatch" (vedi Figura 11), che fu uno dei primi circuiti ad essere storicamente impiegati per la misura di ROS.

Figura 11

Il monimatch è essenzialmente costituito da due linee di misura accoppiate alla linea di trasmissione principale, sulle quali si sviluppano delle tensioni legate rispettivamente alle ampiezze della V_d e della V_r presenti sulla linea. Dette tensioni vengono rettificate da due diodi e quindi inviate agli strumenti tramite due potenziometri il cui valore viene fatto variare simultaneamente. Per misurare il ROS si regolano i potenziometri in modo che l'ago dello strumento della diretta vada a fondo scala e si legge quindi il ROS sullo strumento della riflessa (la scala va tarata come mostrato in Figura 8, a parte la correzione dovuta alla soglia dei diodi).

Il circuito del monimatch ha il difetto, rispetto a quello di Figura 7, di essere in pratica solo impiegabile per misure di ROS (e non anche per misure di potenza RF), in quanto queste ultime risulterebbero fortemente dipendenti dalla frequenza. Infatti mentre nel circuito di Figura 7 l'accoppiamento induttivo che preleva il campione di corrente RF è del tutto indipendente dall'accoppiamento capacitivo che preleva il campione di tensione RF, nel monimatch i due accoppiamenti avvengono entrambi tramite la stessa linea di misura, e non risulta quindi possibile adottare soluzioni che rendano la misura indipendente dalla frequenza.

5. ACCURATEZZA DELLE MISURE DI ROS E DI POTENZA RF

Ci riferiamo qui nuovamente al circuito di Figura 7, ed iniziamo analizzando dapprima la misura di ROS.

Immaginiamo di collegare il misuratore di ROS ad una linea che presenti ROS>1 e partiamo dal caso più semplice in cui la lunghezza della linea sia fortuitamente tale da far vedere al misuratore un'impedenza puramente resistiva. Si tratta in realtà di una circostanza alquanto unusuale in quanto, come evidente dalla Figura 1, questa si presenta solo per particolari lunghezze della linea che non sono tra l'altro facilmente prevedibili.

In tal caso l'indicazione del ROS risulta precisa (a parte l'effetto della non idealità dei componenti utilizzati), poichè la scala dello strumento della riflessa viene tarata (vedi Figura 8) sulla base dei valori di resistenza che corrispondono al valore di ROS indicato.

Vediamo ora cosa invece accade nel caso più comune, ovvero quello in cui l'impedenza vista dal misuratore abbia anche una componente reattiva X non nulla. La domanda da porsi è se il misuratore di ROS, la cui scala è tarata secondo il grafico di Figura 8 che è stata determinato per un misuratore caricato su una resistenza pura, sia in grado di fornire la corretta indicazione del ROS anche in presenza di reattanza X non nulla, o, in altre parole, per qualunque coppia di valori R ed X che corrispondano al valore di ROS vigente sulla linea.

A tale scopo sono state sviluppate le equazioni che modellizzano il funzionamento del misuratore di ROS, tenendo debito conto dello sfasamento che si viene a creare tra V_v ed V_i (vedi par. 4) quando il misuratore sia caricato su un'impedenza che abbia reattanza X non nulla. I risultati di un analisi condotta per il caso ipotetico di ROS= 2 sono riportati in Figura 12.

Figura 12

La curva blu di Figura 12 è il luogo di tutte le possibili coppie R e X che corrispondono al valore di ROS assunto: la R è mostrata sull'asse x, mentre la X è mostrata sull'asse y di sinistra, Si osserva come X risulti pari a 0 per R= 25 come pure per R= 100 (coerentemente con l'assunzione di ROS= 2).

La curva rossa riporta il valore di ROS indicato dal misuratore, determinato sviluppando le equazioni del relativo circuito. La retta così ottenuta testimonia come la misura del ROS risulti essere del tutto indipendente dalla particolare coppia R ed X che dia luogo al valore di ROS assunto. In altre parole si dimostra come il principio di funzionamento su cui si basa il misuratore di ROS sia tale che il solo fatto di veder un'impedenza che abbia una componente reattiva X non nulla non comporta di per sè errori nella misura del ROS. D'altra parte si tratta di un risultato atteso, dato che al par. 4 si era visto come le indicazioni degli strumenti di misura fossero legate solo a V_d ed I_d, indipendentemente dalla fase relativa tra la V_e e la I_e (e cioè dall'impedenza nel punto di misura).

In pratica, a causa della non idealità dei componenti utilizzati per realizzare il circuito, la presenza di una reattanza X non nulla potrebbe forse comportare qualche errore di misura, ma un’analisi intesa a determinare l’entità di detto errore andrebbe condotta caso per caso, e non avrebbe quindi validità generale.

Passiamo ora a considerare la misura della potenza RF che, come già detto, va determinata come differenza tra l’indicazione di potenza diretta  e di potenza riflessa. Anche in questo caso sono state sviluppate le equazioni che forniscono la differenza tra la lettura di potenza diretta e di potenza riflessa in funzione delle coppie R ed X, mentre si tiene fissa la potenza applicata. Detta analisi ha portato a concludere che, in linea di principio, il circuito di Figura 7 è in grado di determinare la potenza RF senza errori, per qualsiasi valore del ROS e della componente reattiva X dell’impedenza. Si ripete quanto già detto in merito al fatto che, a causa della non idealità dei componenti del circuito, la precisione della misura potrebbe risultare in pratica influenzata da valori di ROS elevati come pure dalla presenza di una componente reattiva X non nulla, ma un’analisi di questo tipo andrebbe condotta, caso per caso, facendo riferimento alla particolare realizzazione del circuito si misura.

Si desidera infine rilevare come la misura di potenza RF effettuata utilizzando il circuito di Figura 7, od uno equivalente, sia di principio solo valida in presenza di un segnale che abbia inviluppo costante, quale è una portante continua tipo FM e CW. L’errore di misura che si presenta quando si abbia invece a che fare con un segnale ad inviluppo variabile, quale può essere un segnale AM, è dovuto al fatto che il circuito in questione effettua la misura della potenza in maniera indiretta, misurando in realtà delle tensioni e presentando il risultato di dette misure sotto forma di potenza, grazie all’impiego di una scala quadratica che ricalca il grafico riportato nell’esempio di Figura 9. Altri tipi di strumenti, ad esempio i bolometri, invece misurano la potenza in maniera diretta, e forniscono quindi indicazioni corrette anche in presenza di segnali ad inviluppo variabile.

Per chiarire meglio questa problematica, prendiamo a riferimento un segnale RF di tipo AM, costituito da una portante modulata al 100% da un segnale sinusoidale, e per semplicità riferiamoci al caso di ROS= 1.

Supponiamo che, in assenza di modulazione, la V_e abbia tensione efficace pari a 70,7 V, corrispondente ad una V_e di 100 W su carico di 50 Ohm. Il misuratore di P_e basato sul circuito di Figura 7 effettua la misurazione dell’ampiezza di picco della V_e (che vale 70,7*1.41= 100 V), e viene calibrato in fabbrica perchè, in presenza di tale valore, lo strumento indichi una P_e di 100 W.

Quando si applichi la modulazione sinusoidale al 100%, l’ampiezza di picco della V_e non è più pari a 100 V, ma varia invece tra 0 V e 200 V in funzione dell’ampiezza istantanea del segnale modulante. Il valor medio dell’ampiezza di picco di V_e rimane però chiaramente pari a 100 V, cioè lo stesso valore che aveva quando il segnale RF non era modulato. Pertanto il misuratore di P_e, che fornisce un’indicazione legata al valor medio dell’ampiezza di picco di V_e, fornirà sempre la stessa indicazione di 100 W. Tale valore è errato in quanto è facile calcolare come, in presenza di modulazione sinusoidale al 100%, la P_e del segnale RF modulato sia in realtà pari a 150W.

L’errore in questione dipende dalla non linearità della relazione tra V_e e P_e, e dal fatto che il misuratore, invece di misurare direttamente il valor medio della P_e, in realtà misura il valor medio della V_e e poi indica la potenza che corrisponde a detto valor medio.

Provate a collegare un wattmetro RF ad un trasmettitore AM, e vedrete come la potenza indicata non vari in presenza od in assenza di modulazione. Utilizzando invece un bolometro (che è un wattmetro "termico") osservereste un forte aumento della potenza in presenza di modulazione.

6. EFFETTO DEL ROS SULLO STADIO DI POTENZA RF

Lo stadio di potenza di un trasmettitore allo stato solido include tipicamente una rete L-C progettata per adattare l'impedenza del transistor (o del FET) finale ad un'impedenza puramente resistiva di 50 Ohm. Di conseguenza le condizioni ottimali di lavoro si registrano quando l'impedenza di carico dal trasmettitore abbia appunto quel valore. Nei vecchi trasmettitori a valvole detta rete L-C era costituita da componenti variabili manualmente - il cosidetto pigreco - per cui vi era una certa flessibilità nell'adattare lo stadio finale ad impedenze di valore diverso. Negli apparati moderni allo stato solido, la funzione del pi-greco viene svolta dall'accordatore entrocontenuto, con la principale differenza che questo è oggi generalmente di tipo automatico.

Torniamo al trasmettitore, supposto ora non essere dotato di accordatore, ed esaminiamo cosa accade in presenza di ROS. Come già detto più volte l'impedenza vista dal trasmettitore avrà generalmente una componente resistiva R diversa da 50 Ohm ed anche una componente reattiva X non nulla, in funzione dell'impedenza dell'antenna e della lunghezza della linea (vedi l'esempio di Figura 1). E' ben noto come, in queste condizioni, la potenza erogata dallo stadio finale risulterà esser minore di quella erogata quando il carico sia adattato, ovvero pari a [R= 50 X= 0].

Al di là di ciò si può anche dire che:

• se l'impedenza assume valori bassi, aumenta la corrente assorbita e quindi la potenza dissipata nei transistors finali, con rischio di avaria per eccesso di temperatura.

• se l'impedenza assume invece valori elevati aumenta la tensione RF sui transistors finali, con rischio di avaria per eccesso di tensione.

Al fine di comprendere meglio il fenomeno, sono state sviluppate le equazioni che modellizzano (peraltro in maniera piuttosto semplificata) il comportamento dell'amplificatore di potenza.

Come primo esempio in Figura 13 sono stati graficati i risultati dell'analisi condotta per il caso in cui l'impedenza vista dallo stadio finale abbia solo componente resistiva R (cioè X= 0), con riferimento ad uno stadio progettato per una potenza di uscita pari a 100W.

Figura 13

Assunto un certo valore di ROS, la curva blu permette di determinare quale siano i corrispondenti valori delle resistenze di carico R (riportate sull'asse x). A tal proposito si ricorda come, ad uno stesso valore di ROS, corrispondano sempre due diversi possibili valori di R.

La curva rossa mostra come vari la potenza di uscita in funzione della resistenza di carico. E' evidente come il valore massimo di 100W si ottenga solo quando il carico sia adattato, ovvero valga [R= 50 X= 0]. Peraltro la caduta di potenza non sembrerebbe così drammatica come ci si potrebbe attendere (per ROS= 3, la caduta sarebbe inferiore al 25%) In realtà, quando R assuma dei valori significativamente più bassi o più alti di 50 Ohm, la caduta effettiva di potenza risulterà essere maggiore di quella mostrata in Figura 13, a seguito dell’intervento del circuito Automatic Power Control (APC) dell'apparato, che riduce il livello di pilotaggio allo stadio finale, e quindi la potenza di uscita quando si manifesti una situazione di pericolosità che potrebbe portare all’'avaria dei transistors finali.

La riduzione del livello di pilotaggio viene attuata dall'APC non solo in funzione del valore del ROS, ma anche della corrente assorbita dallo stadio finale, che è la responsabile della potenza dissipata nello stadio (curva verde). Questo perchè, come evidente dalla Figura 13, ad uno stesso valore di ROS corrispondono due possibili valori della resistenza di carico, in corrispondenza ai quali si manifestano diversi valori della corrente assorbita e, conseguentemente, della potenza dissipata nello stadio (quando l’impedenza di carico sia ad esempio pari a [R= 20 X= 0], la potenza dissipata risulta essere molto superiore a quella che si manifesta quando detta impedenza valga invece [R= 125 X= 0], nonostante si abbia ROS= 2,5 in entrambi i casi).

Ciò premesso passiamo a considerare un'altra credenza popolare, ovvero quella che, a parità di ROS, lo stadio finale risulterebbe maggiormente sollecitato ove l'impedenza di carico contenga una componente reattiva X non nulla, rispetto al caso in cui il carico sia invece puramente resistivo. In altre parole la presenza di reattanza renderebbe più critica la funzione svolta dal già citato circuito APC.

I risultati dell'analisi condotta sono riportati in Figura 14 la quale, a differenza della Figura 13, è stata ottenuta prefissando il valore di ROS vigente sulla linea (pari a 2 nell'esempio considerato).

Figura 14

La curva blu di Figura 12 indica, con riferimento al ROS= 2, il valore della parte resistiva R dell'impedenza vista dallo stadio finale in funzione del valore della sua parte reattiva X. Si ricorda come le varie coppie R ed X identificate dalla curva blu corrispondano a diverse lunghezze della linea di trasmissione (vedi Figura 1). La forma della curva è dovuta al fatto che, per uno stesso valore di X, esistono due diversi valori di R che producono il valore assunto di ROS. (ad esempio per X= 0, i valori di R che provocano ROS= 2 sono rispettivamente R= 25 Ohm e R= 100 Ohm).

La curva verde mostra come (per il circuito ipotetico considerato), quando la parte reattiva X del carico sia nulla, la potenza dissipata possa valere circa 178W oppure circa 44W, a seconda che la corrispondente parte resistiva R valga 25 oppure 100 Ohm. Questo risultato è in perfetta coincidenza con quanto mostrato in Figura 13.

Quando invece la reattanza X sia non nulla (con conseguente variazione del valore di R per mantenere coerenza con il valore di ROS assunto), dalla Figura 14 si desume come, nel caso peggiore (cioè quello che corrisponde al valore di R più basso), la potenza dissipata diminuisca.

Si può pertanto concludere come, in base a quanto qui esposto, non appaia vero che, a parità di ROS, la presenza di una componente reattiva X non nulla nell'impedenza di carico del trasmettitore comporti maggiori rischi per lo stadio finale.

In chiusura si vuole anche sfatare la credenza secondo cui la P_r (conseguente alla presenza di ROS) "rientrando nel trasmettitore" possa distruggere i transistors finali. Come già detto (e come meglio precisato nell'Appendice 1) la potenza P_r trasportata dall'onda riflessa ha sempre valore negativo, fatto che indica come detta potenza debba essere semplicemente considerata in riduzione della potenza (positiva) P_d trasportata dall'onda diretta, e non possa essere quindi riguardata come una potenza effettiva che "fuoriescendo" verso il trasmettitore possa danneggiarlo.

7.  SERVE TAGLIARE LA LINEA A MISURA?

Un'altra delle credenze che spesso circola negli ambienti radiantistici è quella che la linea debba essere tagliata a misura, in multipli di mezza lunghezza d'onda (tenendo ovviamente conto del fattore di velocità del linea). La credenza trova origine dal fatto che, come peraltro evidente dalla Figura 1, a multipli di mezza lunghezza d'onda l'impedenza si ripete uguale a se stessa, anche se poi il beneficio che discenda da tale circostanza non viene mai ben identificato.

In linea di principio la questione potrebbe avere senso pratico solo quando si abbia a che fare con un impianto a singola banda. Per impianti multibanda infatti, la condizione che la linea risulti lunga un multiplo di mezza lunghezza d'onda può essere ottenuta, nel caso più ottimistico, solo per una delle bande di lavoro, o comunque solo qualcuna.

Prima di affrontare la questione, osserviamo innanzitutto come, anche volendo tagliare la linea a lunghezze multiple di mezza lunghezza d'onda, occorrerebbe comunque precisare come vada effettuata la misura. Certamente la misura inizia dal connettore a cui è connessa l'antenna, ma dove termina?:

• al connettore dell'apparato? Ma allora bisognerebbe anche tener conto dei percorsi interni nell'apparato stesso, fino a giungere al modulo trasmittente.

• al connettore dell'accordatore? Ma allora cosa accade quando non si usi l'accordatore e ci si passi quindi attraverso? Si potrebbero forse usare dei cavi di connessione anch’essi a lunghezza calcolata.

• al connettore del lineare? Stessa considerazione fatta per l'accordatore. Ove però siano presenti in stazione sia l’accordatore che il lineare, tagliare tutti cavi di connessione a misura diventerebbe ancora più complicato. 

Inoltre andrebbero compensate le possibili variazioni della lunghezza elettrica della linea causate da dispositivi (filtri anti TVI, balun, ecc.) eventualmente presenti sulla linea stessa.

Chiaramente le incertezze di cui si è sopra parlato sono tanto più importanti quanto più sia piccola la lunghezza d’onda, ovvero quanto più sia alta la frequenza di lavoro.

Va poi considerato come la misura, per quanto ben fatta, sarà comunque soggetta ad errori, che avranno nuovamente importanza tanto maggiore quanto più sia elevata la frequenza operativa. La nocività degli errori risulterà essere massima quando, credendo di tagliare la linea a lunghezza multipla di mezza lunghezza d'onda (ovvero 0,5, 1, 1,5, 2, ecc.), in pratica la linea risulti invece avere, a causa dell’errore di misura, una lunghezza multiplo dispari di quarti di lunghezza d'onda (ovvero 0,25, 0,75, 1,25, ecc.). Infatti, come peraltro anche evidente dalla Figura 1, a multipli dispari di quarti di lunghezza d'onda si verifica il già citato effetto di trasformatore in quarto d'onda (vedi par. 3), per cui l'impedenza subisce il massimo cambiamento possibile, invece di essere ripetuta uguale a sè stessa come era negli intenti.

Ma può un errore di tale entità verificarsi effettivamente in pratica? Per esempio alla frequenza di 432 MHz si tratterebbe di sbagliare la misura di circa 17 cm. Se la discesa fosse ad esempio di 40 metri, si tratterebbe di compiere un errore di circa lo 0,4%, forse un po' elevato per una mano esperta, ma non poi così tanto se si tengono anche in conto le già menzionate incertezze relativamente a quale debba essere la lunghezza fisica da tenere effettivamente in conto.

Nel seguito vengono peraltro citati degli esempi che mostrano come degli errori possano benissimo anche verificarsi per motivi non legati all'imperizia di chi esegua la misura:

• supponiamo di voler utilizzare per la frequenza dei 432,000 MHz una discesa di lunghezza elettrica perfettamente pari a 100 mezze lunghezze d'onda, ovvero 22,882 metri (tenendo conto di un fattore di velocità pari a 0,659). E' facile calcolare come la stessa linea alla frequenza di 434,160 MHz presenti una lunghezza elettrica di 100,5 mezze lunghezze d'onda, ovvero 201 quarti di lunghezze d'onda. Il risultato è che, con un semplice spostamento di frequenza all'interno della banda operativa, la linea passa da multiplo di mezza lunghezza d’onda (ripetendo quindi l’impedenza dell’antenna uguale a sè stessa) a multiplo dispari di quarti di lunghezze d'onda (agendo così da trasformatore in quarto d'onda nei riguardi dell’impedenza dell’antenna). Proprio l'opposto di quello che si voleva!

• il fattore di velocità delle linee non è sempre noto con precisione, specie quando si tratti di linee a bassa perdita che abbiano isolante di tipo foam (nel qual caso si riscontra anche una certa dipendenza del fattore dalle condizioni ambientali, ad es. dall’umidità). Ritorniamo alla nostra linea lunga 22,882  metri, tagliata per costituire multiplo di mezze lunghezze d'onda alla frequenza di 432,000 MHz. E' facile calcolare come, se il fattore di velocità della linea risulti essere in pratica pari a 0,656 invece del valore presunto di 0,659 (quindi con una approssimazione, od una variazione nel tempo, dello 0,5 %), la lunghezza della linea passi da multiplo di mezza lunghezze d'onda a multiplo dispari di quarti di lunghezze d'onda. Come l'erba maligna, risorge il trasformatore in quarto d'onda!

Esaurita la premessa sul senso e sulla difficoltà pratica di fare in modo che la linea sia effettivamente lunga un multiplo di mezze lunghezze d'onda, torniamo alla domanda iniziale: ma a che pro?

Per quanto già più volte detto il ROS è indipendente dalla lunghezza del linea, per cui scartiamo subito ogni ipotesi di ottimizzare il ROS tagliando la linea a misura.

Nel tentativo di intuire quale possa essere la logica di chi propone l'utilizzo di linee lunghe multipli di mezza lunghezza d'onda, si potrebbe per esempio riferirla al fatto che, con tali lunghezze e con un’antenna che abbia un'impedenza puramente resistiva - anche se non 50 Ohm - l'impedenza che si presenta all’estremità della linea di discesa risulta anch’essa puramente resistiva (vedi Figura 1). Non sarebbe però facile comprendere quale possano essere i vantaggi conseguenti all’ottenimento di un’impedenza puramente resistiva all’estremità della discesa. Infatti:

• per quanto riguarda il trasmettitore, come visto al par. 6 la potenza massima che l’apparato può di fatto erogare dipende, in linea di principio, solo dal ROS e non dall'eventuale presenza di reattanza nell'impedenza di carico. Come pure non si registra un aumento della potenza dissipata nello stadio finale per il solo fatto che l’impedenza, a parità di ROS, non appaia puramente resistiva.

• per quanto riguarda poi la misura del ROS, come detto al par. 5 l'eventuale presenza di reattanza al punto in cui il misuratore di ROS è inserito non altera, in linea di principio, la precisione di misura del ROS.

In conclusione, non si ritiene che la fatica di tagliare la linea a misura sia compensata dall’ipotetico beneficio che ne possa conseguire.

8.  MA L'ANTENNA RISUONA VERAMENTE?

Come già accennato, un'antenna è detta "risuonare" ad una certa frequenza quando a quella frequenza la sua impedenza appaia puramente resistiva (anche se il valore di R sia poi diverso dai 50 Ohm canonici).

Dalla Figura 4 si evince come quando, nell’impedenza dell’antenna, alla componente resistiva R si venga ad aggiungere una componente reattiva X, si registra un aumento del ROS in dipendenza del valore di X. Sembrerebbe quindi immediato poter concludere che la condizione di ROS minimo è indice di risonanza dell'antenna.

Detta affermazione, che è assolutamente vera quando il ROS =1, diventa invece non sempre valida se il ROS > 1.

La Figura 15 mostra, per un'antenna pratica, l'andamento in frequenza della resistenza R (curva blu) e della reattanza X (curva verde). Si è quindi tracciato con curva rossa il ROS che corrisponde a quei valori di R e di X.

Figura 15

La frequenza a cui il ROS risulta minimo (contrassegnata con un punto rosso) e la frequenza a cui si manifesta la risonanza, cioè si annulla la componente reattiva X, (contrassegnata con un punto verde) non coincidono.

L'entità della discrepanza dipende dagli andamenti di R e di X, e risulta particolarmente rilevante quando alla frequenza a cui X= 0 la resistenza R sia significativamente diversa da 50 Ohm, mentre alla frequenza a cui la resistenza R vale 50 Ohm la reattanza X non sia troppo elevata.

In conclusione la frequenza di risonanza dell'antenna, se determinata in base al solo fatto che il ROS assuma il valore minimo, potrebbe essere solo apparente. In altre parole non si può essere certi che alla frequenza alla quale il ROS risulti minimo l'antenna presenti un'impedenza puramente resistiva.

9. LINEE CON ATTENUAZIONE

Nei paragrafi precedenti si è costantemente tenuta l'assunzione di avere a che fare con linee ideali, che non attenuino quindi i segnali che le attraversino. In questo paragrafo esaminiamo alcune delle implicazioni che discendono dall'avere necessariamente a che fare, in pratica, con linee che invece attenuino i segnali.

L'attenuazione di una linea dipende principalmente:

• dal tipo di linea: diminuisce al crescere del diametro della linea e quanta più aria vi sia nell'isolante (è quindi più bassa per i cavi con isolante foam).

• dalla lunghezza della linea: l'attenuazione (in dB) risulta proporzionale alla lunghezza della linea stessa.

Iniziamo con il caso di antenna adattata (ROS= 1), ovvero con impedenza [R= 50 X= 0], alla quale venga applicata la potenza RF di 100W.

Se la linea non avesse perdite, la potenza risulterebbe costante (100 W) lungo tutta la linea, come pure l'ampiezza di picco della tensione manterrebbe il valore di 100 V (ovvero 70.7 Vrms, che corrispondono appunto ai 100 W applicati).

Quando la linea presenti invece una certa attenuazione, vale l'esempio mostrato in Figura 16, che mostra l'andamento della potenza RF (in rosso) lungo la linea e quello dell'ampiezza di picco della tensione (in blu). Nell'esempio si è assunto che il tratto di linea considerato (lungo 5 lunghezze d'onda) abbia un'attenuazione complessiva di 6 dB.

Figura 16

La potenza applicata di 100 W si riduce a soli quasi 25 W sui terminali dell'antenna. La tensione è soggetta a una minore diminuzione, a causa della sua relazione quadratica con la potenza. La corrente ha lo stesso andamento della tensione.

Passiamo ora a considerare il caso di un'antenna non adattata, con impedenza [R= 150 X= 0] e che presenti quindi ROS= 3. A soli fini di confronto riportiamo dapprima in Figura 17 l'andamento dell'ampiezza di picco della tensione (in blu) lungo la linea, nell'assunzione che questa sia senza perdite.

Figura 17

Si noti il caratteristico andamento sinusoidale della tensione da cui deriva il nome "onda stazionaria" (maggiori dettagli al riguardo sono forniti nell'Appendice 1). Per una potenza di 100 W, l'ampiezza di picco della tensione oscilla intorno al valore di circa 115,5 V, con picchi di circa +/- 57,7 V (la giustificazione di tali valori è riportata nell'Appendice 1).

La Figura 18 mostra come si modifichi la Figura 17 quando si supponga che, fermi restando gli altri parametri, il tratto di linea considerato abbia ora un'attenuazione totale di 6 dB.

Figura 18

Nel grafico viene mostrato anche l'andamento del ROS (in verde), il quale vale 3 in corrispondenza al connettore dell'antenna, ma diminuisce man mano che ci si avvicini al trasmettitore, presso cui diventa circa 1,29. E' evidente come la misura del ROS eseguita al trasmettitore risulti parecchio ottimistica, in quanto il valore medio del ROS lungo la linea è più elevato di quanto viene misurato. Tale effetto peraltro non accadrebbe se la linea non avesse perdite, come evidente dal grafico del ROS mostrato in Figura 17.

Si tratta di questione ben nota dovuta al fatto che l'onda della tensione riflessa si attenua nel tornare indietro dall'antenna verso il trasmettitore, e ciò falsa la misura. La Figura 19 mostra il classico grafico dell'Handbook ARRL che fornisce il ROS apparente (misurato al trasmettitore) in funzione del ROS che si misurerebbe direttamente sul connettore dell'antenna, e dell'attenuazione della linea.

Figura 19

Quando una (lunga) linea presenti una forte attenuazione (come spesso avviene in VHF/UHF) anche se lasciata aperta o cortocircuitata (con ROS infinito quindi) essa comunque presenterà al trasmettitore un ROS basso, al punto che la linea potrebbe essere utilizzata come un carico fittizio!

In chiusura si desidera quantificare quanto già precedentemente accennato, relativamente al fatto che la presenza di ROS sulla linea comporti un'aumento dell'attenuazione, che è funzione dell'attenuazione propria della linea e del ROS (misurato al connettore dell'antenna). Tale fenomeno è mostrato nel grafico di Figura 20, anch'esso riportato nell'Handbook ARRL.

Figura 20

Il grafico mostra, per un prefissato valore di ROS, una sostanziale continuità dell'aumento dell'attenuazione con l'attenuazione stessa. Oltre un certo valore di attenuazione però l'aumento di attenuazione tende a saturare. Ciò si spiega con i fatto che, aumentando la lunghezza della linea e quindi la sua attenuazione, i pezzi di linea che si vanno man mano aggiungendo sono soggetti ad un ROS ormai basso (vedi Figura 18) e forniscono quindi un contributo sempre più modesto all'aumento dell'attenuazione.

APPENDICE 1

Nell'esempio di Figura 1 si è considerata un'antenna la cui impedenza ha componente reattiva X nulla, e la cui  corrente è quindi in fase con la tensione. Non appena ci si allontani dall'antenna abbiamo visto come insorga una componente reattiva X non nulla dovuta al fatto che tensione e corrente non sono ora più in fase tra loro.

Mentre in Figura 1 ci si è limitati a mostrare l'andamento delle componenti R ed X dell'impedenza, in quest'Appendice si desidera esaminare in maggior dettaglio la variazione della tensione e della corrente lungo la linea, sia in ampiezza che in fase. In quest'occasione si introdurranno anche i concetti di onda diretta ed onda riflessa, che rappresentano modelli della realtà di comune impiego.

Lungo tutta questa discussione si è mantenuta l'assunzione di considerare linee ideali senza perdite con impedenza caratteristica di 50 Ohm.

Andamenti della tensione e della corrente effettive

La tensione presente su una linea di trasmissione, come peraltro anche la corrente, può essere visualizzata come un'onda che si propaga dal trasmettitore verso l’antenna. Stiamo qui parlando della tensione V_e e della corrente I_e che possono essere effettivamente misurate lungo la linea utilizzando un adatto strumento di misura RF, ed i cui valori ovviamente crescono all’aumentare della potenza applicata. A questo proposito va osservato come:

• in una linea in cui si abbia ROS= 1:

  • i valori (di picco o efficace) di V_e e di I_e sono costanti lungo la linea.

  • V_e risulta essere in fase con I_e in ogni punto della linea.

  • l'impedenza, pari al rapporto V_e/I_e, è quindi costante e vale 50 Ohm puramente resistivi.

• qualora il ROS sia invece >1:

  • i valori (di picco o efficace) di V_e e di I_e variano lungo la linea con andamento sinusoidale ("onda stazionaria"). Dall'esempio di Figura 17 si osserva come in certi tratti della linea V_e risulti essere molto più elevata che in altri tratti. Stessa cosa vale per I_e, con la precisazione che dove V_e è massima I_e risulta minima e viceversa.

  • tranne che in punti particolari, V_e non risulta essere in fase con I_e.

  • l'impedenza ha quindi generalmente anche una componente reattiva ed è variabile lungo la linea.(come peraltro evidente dalla Figura 1).

L' onda diretta e l'onda riflessa.

Va peraltro ricordato come, per le linee di trasmissione, sia d'uso considerare l'onda di tensione effettiva V_e, di cui si è già parlato, come scissa in due onde componenti denominate rispettivamente onda di tensione diretta V_d (che va dal trasmettitore verso l'antenna) ed onda di tensione riflessa V_r (che va dall'antenna verso il trasmettitore). In ogni punto della linea vale quindi la relazione V_e= V_d+V_r (si tratta di una somma vettoriale nel senso che, al momento di effettuare la somma, occorre tener anche conto della fase relativa tra i due addendi).

Stessa cosa si può fare per l'onda di corrente effettiva I_e, che può essere considerata come scissa nell'onda di corrente diretta I_d e nell'onda di corrente riflessa I_d. Pertanto, in ogni punto della linea, si ha che I_e= I_d+I_r (di nuovo si tratta di una somma vettoriale).

Naturalmente tale modo alternativo di vedere le cose è solo frutto di un'astrazione mentale in quanto, nella realtà delle cose, di tensione (e di corrente) ne esiste una sola, ovvero la V_e (e la I_e). Peraltro la scissione della V_e (o della I_e) in due componenti virtuali, cioè la diretta e la riflessa, presenta certi vantaggi nei riguardi della trattazione matematica e quindi della comprensione dei fenomeni.

E' importante rilevare come la V_d e la V_r si comportino in maniera molto diversi dalla V_e (stessa cosa vale per I_d ed I_r nei confronti di I_e). Infatti si può osservare come per qualunque valore di ROS:

• le ampiezze di V_d ed I_d, come pure quelle di V_r ed I_r, abbiano valore costante lungo la linea.

• la I_d risulti in fase con la V_d in ogni punto della linea.

• la I_r risulti invece in opposizione di fase con la V_r in ogni punto della linea.

• il rapporto d'ampiezza V_d/I_d, come pure quello V_r/I_r, valga 50 in ogni punto della linea

Per quanto riguarda V_d e V_r si può dire quanto segue:

• le ampiezze di V_d e V_r:

  • crescono all’aumentare della potenza applicata (eccetto per V_r quando ROS= 1).

  • a parità di potenza, dipendono entrambi dal valore del ROS. In particolare, per ROS=1, risulta V_r= 0.

• la fase relativa tra V_d e V_r varia lungo la linea (le relative onde si muovono in direzioni opposte)

Come già detto, l’ampiezza di V_e risulta dalla somma vettoriale di V_d e V_r, e sarà quindi massima nei punti della linea dove V_d e V_r risultino essere in fase, e minima dove V_d e V_r si trovino in opposizione di fase (ovvero sfasate di 180 gradi). L'andamento sinusoidale della V_e mostrato nell'esempio di Figura 17 dipende proprio dal fatto che in certi tratti di linea V_d e V_r si sommano costruttivamente (fino ad un valore massimo pari a V_d+V_r), mentre in altri tratti d